По-умолчанию запись логов идёт в файл /var/log/syslog.

Задача: вывести лог в отдельный файл /var/log/cron.log.

В файле /etc/rsyslog.conf раскоментировать строку

cron.*      /var/log/cron.log

Если нет - добавить.

Теперь нужно отключить запись в syslog. Находим строку *.* и добавляем в конец строки cron.none. Примерно так:

*.*;auth,authpriv.none,cron.none  -/var/log/syslog

Перезапустить cron и syslog

# systemctl restart cron
# systemctl restart rsyslog

Не забыть про ротацию. В Debian 9 и 10 уже есть строка /var/log/cron.log в /etc/logrotate.d/rsyslog.

Пример файла

/var/log/syslog
{
        rotate 7
        daily
        missingok
        notifempty
        delaycompress
        compress
        postrotate
                invoke-rc.d rsyslog rotate > /dev/null
        endscript
}
 
/var/log/mail.info
/var/log/mail.warn
/var/log/mail.err
/var/log/mail.log
/var/log/daemon.log
/var/log/kern.log
/var/log/auth.log
/var/log/user.log
/var/log/lpr.log
/var/log/cron.log
/var/log/debug
/var/log/messages
{
        rotate 4
        weekly
        missingok
        notifempty
        compress
        delaycompress
        sharedscripts
        postrotate
                invoke-rc.d rsyslog rotate > /dev/null
        endscript
}

EOM